# Labirintusok rajzolása és megoldása

Czirkos Zoltán, Károlyi Péter Márton · 2023.01.13.

Labirintusokat tervező és megoldó algoritmusok. Egymásra nem is hasonlító rekurzív és iteratív megoldások ugyanazokra a feladatokra.

## 1. Labirintus rajzolása rekurzívan

Írjunk programot, amelyik kirajzol egy véletlenszerűen generált, kört nem tartalmazó labirintust karakterekből! A falakat jelezze X karakter, a járatokat meg szóköz. A kimenet nézzen úgy ki, mint oldalt!

     XXXXXXXXXXXXXXXXXXX
    >      X X     X   X
     XXXXX X X XXX X X X
     X X   X   X X   X X
     X X XXX XXX XXXXX X
     X X X       X     X
     X X XXXXX XXX XXX X
     X X     X X   X   X
     X XXXXX XXX XXX XXX
     X     X     X X X X
     X XXXXXXXXXXX X X X
     X                  >
     XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

### Az elv

      XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
            X     X           X
    > -- a  X  e  X  g --- h  X
            X     X           X
      X  |  X  |  X  |  XXXXXXX
      X                       X
      X  b --- d --- f --- i  X
      X                       X
      X  |  XXXXXXX  |  XXXXXXX
      X     X
      X  c  X  k --- j --- l -- >
      X     X
      XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Nézzük meg először egy kicsit jobban egy labirintus anatómiáját. Az egész labirintus egy kétdimenziós listában tárolható (listák listája); a kétdimenziós pálya ki van töltve X-ekkel, és néhol járat van benne szóközökből. A következő rajz egy kinagyított labirintust mutat, bejárattal és kijárattal.

Látható, hogy a labirintus tartalmaz termeket. Ezeket betűk jelölik. Az egyes termekben járatok lehetnek más termek felé; ha több terem felé indul valahonnan járat, akkor az egy elágazás. Ha elfelejtjük egy időre ezt a 2D ábrázolást, és rajzolunk egy gráfot, amelyen a termek a csúcspontok, az őket összekötő járatok pedig az élek, akkor a következő ábrát kapjuk (a fenti labirintussal teljesen megegyező kialakítással, érdemes összevetni a termek kapcsolatát).

Minden terembe egy járat vezet, és minden teremből indulhatnak ki további járatok, amelyek termekbe vezetnek – amely termekből pedig további labirintusok indulhatnak ki. A szerkezet rekurzív felépítésű, ezért a feladat rekurzívan oldható meg – mondá Niklaus Wirth a híres Algoritmusok + adatstruktúrák = programok című könyvében. A megoldásban a gráf formát viszont nem előnyös használni. A listák listája jobban jön, mert az tárolja az egyes termek szomszédsági viszonyait, koordinátáit is, nem csak az összeköttetéseket.

### Az algoritmus

    0. XXXXXXX       1. XXXXXXX       2. XXXXXXX       3. XXXXXXX
       X X X X          XXXXXXX          XoXXXXX          Xo *XXX
       XXXXXXX          XXXXXXX          X XXXXX          X XXXXX
       X X X X           .XXXXX           .XXXXX           .XXXXX
       XXXXXXX          XXXXXXX          XXXXXXX          XXXXXXX

A pályán minden második pozíción (vízszintesen és függőlegesen is) fixen termek vannak, ahonnan járatok indulhatnak tovább (0. rajz). Ezért a pálya méretének, amibe rajzolunk, páratlannak kell lennie mindkét irányban.

Az algoritmus, a fenti rajzokon bemutatva, a következőképpen működik. Induljunk ki egy teljesen kitöltött pályából, és tegyük fel, hogy egy járatot már kivájtunk. A pontot, ahol éppen vagyunk, jelölje a pont (.) karakter (1. rajz). Innen négy irányba mehetünk tovább (fel, le, balra, jobbra). A balra vezető irányt ki kell hagynunk, mert ott már van járat, onnan jöttünk. Ha felfelé indulunk, akkor ki kell vájni a pont feletti helyet, és a kettővel felette lévőt, így kerülünk a karikával jelzett helyre (2. rajz). Az új helyen ugyanaz a feladatunk, mint az előbb: innen is négy irányba mehetünk tovább (persze ebből a lefele irányt nem számítjuk, hiszen ott már járat van). Ha minden lehetséges irányba mentünk, akkor befejeztük a rajzolást – ilyenkor vissza kell ugranunk az előző pontba, és megnézni, hogy onnan tudunk-e még bármerre menni. A rekurzió itt abban segít nekünk, hogy visszamenőlegesen automatikusan meg lehet jegyezni, melyik irányokban jártunk már, és melyik irányok felé kell még járatot vágni (ha lehet).

    def labirintus(palya, x, y):
        ...

A labirintusrajzoló függvény paraméterként veszi át, hogy melyik koordinátából indulva kell rajzolnia (x, y). Innen négy irányba mehet tovább; ezen irányok közül véletlenszerűen kell választania, ez adja majd az egész pálya véletlenszerűségét. Ugyanakkor mind a négy irányba el kell indulni, különben kitöltetlen részek maradnak a pályán. Ez úgy oldható meg, hogy egy listába betesszük a négy irányt (fel, le, jobbra, balra) és megkeverjük a listát. Ezzel kialakul egy véletlenszerű sorrend, pl. jobbra, le, fel, balra. Utána ezek szerint kell indulni amerre lehet.

Ha a választott irányba nézve már van egy szóköz, az azt jelenti, hogy ott már van járat. Ez két esetben lehetséges: (1) pont most jöttünk onnan, vagy (2) a kacskaringós labirintus más úton már eljutott oda. Az elsőnél egyértelmű, hogy arrafelé nem kell menni. A második esetben viszont nem is szabad arra menni, mert ha oda járatot vágnánk, akkor kör alakulna ki a labirintusban.

Az algoritmus működését az animáció szemlélteti. A rajzolás a bal felső sarokból indul. Minden helyen, ahol járatot kialakít a program, és rekurzív függvényhívás történik, a videón először egy kék jel lesz csak. Miután a rekurzív függvényhívások mind visszatértek, csak utána cseréli ki ezt a kék jelet a végleges feketére. Így azokat a helyeket, ahol a rajzoló függvény még nem futott le teljesen (ahova még vissza kell térnie, megvizsgálni, hogy esetleg onnan még más irányba is indítható egy út), kékkel lehet látni.

### A program

A lenti programban a következő részek vannak. Egy kétdimenziós listát hozunk létre, annak a belsejébe rajzolunk. A lista mindkét irányban páratlan méretű kell legyen (ez látszik a fenti rajzokon is), mert két egységenként van egy pont, ahonnan kanyarodni lehet. Induláskor az egészet fallal töltjük ki és abba vájni a járatokat a `labirintus()` függvénnyel.

A `labirintus()` függvény kialakít egy olyan labirintust, amelyik teljesen körbe van zárva fallal. Ezért kell úgy indítani a rajzolást, hogy az (1; 1) koordinátákra hívjuk meg a függvényt – a 0. indexű sorban és oszlopban mindenhol fal lesz. A labirintus rajzolása után trükkösen a `main()` függvényben a bal felső és a jobb alsó sarokhoz még utólag beírunk egy járatot, hogy úgy nézzen ki, mintha ott lenne a bejárat és a kijárat.

A listát a `random` modul `shuffle` függvényével keverjük.

    import random

    MERETX = 35
    MERETY = 15

    FAL = '#'
    JARAT = ' '

    # Kétdimenziós lista az előadásról
    def ketdimenzios(szeles, magas, kezdeti=None):
        palya = []
        for _ in range(magas):
            palya.append([kezdeti]*szeles)
        return palya

    # kirajzolás
    def kirajzol(palya):
        for y in range(MERETY):
            for x in range(MERETX):
                print(palya[y][x], end='')
            print()

    # maga a generáló függvény
    def labirintus(palya, x, y):
        FEL = 1
        BALRA = 2
        LE = 3
        JOBBRA = 4

        # erre a pontra hívtak minket, ide lerakunk egy darabka járatot
        palya[y][x] = JARAT

        # irányok keverése
        iranyok = [FEL, BALRA, LE, JOBBRA]
        random.shuffle(iranyok)

        # a kevert irányok szerint mindenfelé próbálunk menni, ha lehet.
        for irany in iranyok:
            if irany == FEL:
                if y >= 2 and palya[y - 2][x] != JARAT:
                    palya[y - 1][x] = JARAT        # elindítjuk arrafelé a járatot
                    labirintus(palya, x, y - 2)    # es rekurzíve megyünk tovább

            elif irany == BALRA:
                if x >= 2 and palya[y][x - 2] != JARAT:
                    palya[y][x - 1] = JARAT
                    labirintus(palya, x - 2, y)

            elif irany == LE:
                if y < MERETY - 2 and palya[y + 2][x] != JARAT:
                    palya[y + 1][x] = JARAT
                    labirintus(palya, x, y + 2)

            elif irany == JOBBRA:
                if x < MERETX - 2 and palya[y][x + 2] != JARAT:
                    palya[y][x + 1] = JARAT
                    labirintus(palya, x + 2, y)

    def main():
        # üres pálya létrehozása
        palya = ketdimenzios(MERETX, MERETY, FAL)

        # labirintus generálása
        labirintus(palya, 1, 1)

        # be- és kijárat
        palya[1][0] = JARAT
        palya[MERETY - 2][MERETX - 1] = JARAT

        # és mehet kirajzolásra
        kirajzol(palya)

    main()

Érdekes rokonság figyelhető meg a labirintus rajzoló és az alakzat kifestő algoritmus között. Mindkettőnek az a feladata, hogy a rendelkezésre álló térrészt kitöltse. Ezért mindkét algoritmus mind a négy irányba (fel, le, jobbra, balra) megpróbál menni. A kitöltésnél, mivel a konkrét útvonalnak nincs hatása az eredményre, mindegy, milyen irányba indulunk. A labirintusnál viszont látszik a terület „kifestésének” útvonala is – és mivel a célunk az, hogy össze-vissza haladjunk, az indulás irányát minden lépésben véletlenszerűen választjuk ki. (Érdemes megnézni a labirintusgeneráló program kimenetét akkor, ha kihagyjuk ezt a keverést.) Emiatt egyébként a labirintusgeneráló algoritmus szabálytalan alakú labirintusok létrehozására is alkalmas. Kis módosítás után akár a Batman-jel belsejébe is generálhatnánk egy labirintust vele.

A területet bejáró algoritmus útvonalkeresésre is használható. Ebben az esetben a függvénynek visszatérési értéke is kell legyen: IGAZ, ha abba az irányba indulva megtalálható egy keresett dolog (pl. a kijárat vagy egy elrejtett kincs), HAMIS, ha nem. Ez adja az ötletet ahhoz, hogyan lehet olyan programot írni, amelyik megtalálja a labirintusból kivezető utat.

## 2. Útkeresés a labirintusban

Folytassuk az előző feladatot. Legyen most az a feladvány, hogy adott egy labirintus egy kétdimenziós listában, és nekünk kell kitalálni és belerajzolni a megoldást, vagyis a bejárattól a kijáratig vezető utat.

### A megoldás algoritmusa

Térjünk vissza a labirintus gráffá alakításához. A gráfban a kiindulási ponttól egy út vezet a végcélhoz (mivel a labirintus nem tartalmaz kört). Ezen kívül az összes többi terem, ahova bemegyünk, az zsákutca.

Egy rekurzív függvény, amelyik megmondja azt, hogy egy adott pontból egy adott helyre el lehet-e jutni, körülbelül így nézne ki:

    FÜGGVÉNY kijárat_keres(aktuális_hely, kijárat_helye)
        LEGYEN megvan_a_kijárat = HAMIS

        # ha már ott vagyunk, akkor nyilván igaz
        HA aktuális_hely = kijárat_helye
            LEGYEN megvan_a_kijárat = IGAZ

        # ha valamelyik irányba el lehet arra jutni
        CIKLUS az összes leszármazott felé
            HA az adott irányba lehet menni
               ÉS kijárat_keres(leszármazott_helye, kijárat_helye)
                LEGYEN megvan_a_kijárat = IGAZ
        CIKLUS VÉGE
    FÜGGVÉNY VÉGE, visszaadja a megvan_a_kijárat tartalmát

Vagyis bejárjuk az összes járatot, és ha egy adott irányba indulva van a megoldás, akkor a függvény igazzal tér vissza, egyébként hamissal.

A programunkban nem irányított gráf van, hanem egy irányítatlan, nyilak nélkül. Egy kétdimenziós listában vannak benne a járatok; ha egy adott helyről elmegyünk jobbra, akkor onnan visszafelé, balra is tudunk jönni. Erre figyelni kell, különben előfordulhat az, hogy oda-vissza lépked az algoritmus a végtelenségig. Ezért azt kell csinálni, hogy a már megvizsgált járatokba egy jelet teszünk. Ahova léptünk, arról a helyről feltételezzük, hogy végülis egy zsákutca lesz – ezzel a jellel (a kódban a '.' karakter) szinte befalazva a járatot, hogy többé erre már ne jöjjünk. Ha a rekurzív függvényhívások bármelyike igazzal tér vissza, vagyis megtudjuk, hogy arrafelé a kijárathoz vezet az út, az azt jelenti, hogy a hely, ahol állunk, az maga is a kijárathoz vezető úton van, ezért oda a függvény végén esetleg letesszük a kijárathoz vezető út jelét (ami a lenti kódban egy csillag).

Az algoritmus működése itt látható. Lényegében rekurzívan nekiindul bejárni az egész labirintust; ha útközben valahol megtalálja a kijáratot, akkor visszafelé az oda vezető utat meg tudja jelölni, mert a hívott függvények IGAZzal tértek vissza, ezzel jelezve, hogy arra található. Így az eredetileg, bejárás közben egyben falként is betett kék jelzések is végül kicserélhetők zöldre. Ha HAMISsal tért vissza, akkor meg pirosra.

A négy vizsgált iránynál a feltételben szerepel az is, hogy ha egy adott irányba meglett a megoldás, akkor a többi felé el se induljon már – arrafelé úgysem lesz (másik) kijárat. Egyébként ezt a programot már nem érdeklik a páros pozíciókon elhelyezkedő termek – a termeket és az azokat összekötő utakat egységesen kezeli. Ezért nincsen benne sehol `x+2` és hasonló kifejezés.

Alább látható a program konzolos változata.

    MERETX = 19
    MERETY = 13

    JARAT = ' '
    FAL = 'X'
    KIJARAT = '*'
    ZSAKUTCA = '.'
    KERDESES = '?'

    # kirajzolás
    def kirajzol(palya):
        for y in range(MERETY):
            for x in range(MERETX):
                print(palya[y][x], end='')
            print()

    # igazzal tér vissza, ha arrafelé megtalálta, hamissal, ha nem
    def megfejt(palya, x, y, cel_x, cel_y):
        # első körben bejelöljük ezt a helyet KERDESES-nek -
        # ez végülis csak azért lényeges, hogy ne járat legyen itt,
        # mert akkor visszajönne ide
        palya[y][x] = KERDESES

        # egyelőre nem találjuk a kijáratot
        megtalalt = False

        # pont a célnál állunk?
        if x == cel_x and y == cel_y:
            megtalalt = True

        # ha még nem találtuk meg a kijáratot... és tudunk jobbra menni
        if not megtalalt and x < MERETX - 1 and palya[y][x + 1] == JARAT:
            # ha arra van a megfejtés
            if megfejt(palya, x + 1, y, cel_x, cel_y):
                megtalalt = True

        # ...balra
        if not megtalalt and x > 0 and palya[y][x - 1] == JARAT:
            if megfejt(palya, x - 1, y, cel_x, cel_y):
                megtalalt = True

        if not megtalalt and y > 0 and palya[y - 1][x] == JARAT:
            if megfejt(palya, x, y - 1, cel_x, cel_y):
                megtalalt = True

        if not megtalalt and y < MERETY - 1 and palya[y + 1][x] == JARAT:
            if megfejt(palya, x, y + 1, cel_x, cel_y):
                megtalalt = True

        # viszont ha innen kiindulva meg lehet találni a kijáratot
        # (most már tudjuk a függvények visszatérési értékéből),
        # akkor a kijárathoz vezető útként jelöljük meg.
        palya[y][x] = KIJARAT if megtalalt else ZSAKUTCA

        # jelezzük a hívónak, hogy valahonnan errefelé indulva
        # lehet-e kijáratot találni
        return megtalalt

    def main():
        # sztringekkel adjuk meg a pályát, hogy jól látsszon
        # a forráskódban a bemenet. Mivel pythonban a sztringek
        # immutable-ek, listákká kell alakítani. A lista elemei
        # a szting karakterei lesznek (pl. list('XYZ') -> ['X', 'Y', 'Z'])
        palya = [
            list('XXXXXXXXXXXXXXXXXXX'),
            list('      X X     X   X'),
            list('XXXXX X X XXX X X X'),
            list('X X   X   X X   X X'),
            list('X X XXX XXX XXXXX X'),
            list('X X X       X     X'),
            list('X X XXXXX XXX XXX X'),
            list('X X     X X   X   X'),
            list('X XXXXX XXX XXX XXX'),
            list('X     X     X X X X'),
            list('X XXXXXXXXXXX X X X'),
            list('X                  '),
            list('XXXXXXXXXXXXXXXXXXX')
        ]

        # honnan indulunk és hol a jutalomfalat
        megfejt(palya, 0, 1, MERETX - 1, MERETY - 2)
        kirajzol(palya)

    main()

Minden rekurzív problémának létezik iteratív megoldása. Tegyük fel, hogy van egy labirintusunk, amelyik megfelel a fenti specifikációnak, vagyis egy bejárata van, egy kijárata, és nincs benne kör (vagyis mindenhova egy úton lehet eljutni). Ha bemegyünk ebbe a labirintusba, és gondolkodás nélkül megyünk, megyünk; mindössze annyit csinálunk, hogy a jobb kezünket a falon tartjuk, akkor előbb-utóbb eljutunk a kijárathoz. Ez iteratív algoritmus: hol vagyunk (x, y), merre megyünk (fel/le/jobbra/balra). Ha tudunk jobbra fordulni, jobbra megyünk. Ha nem, akkor egyenesen próbálunk meg, és ha az se, akkor fordulunk egyet balra. Ezt ismételgetjük (iteráljuk!) addig, amíg meg nem lesz a kijárat.

## 3. Iteratív generálás I. – Growing tree

A fenti labirintust generáló program a vermet használja arra, hogy megjegyezze, hova kell még visszamennie, esetleg honnan kell még további utakat kiindítania. Amikor meghívja a függvény saját magát, a koordináták (mint lokális változók) bekerülnek a verembe; és ha az a függvényhívás visszatért, akkor onnan folytatódik a végrehajtás, ahol abbamaradt. Az egymás utáni függvényhívások a verem végére raknak be két új koordinátát; a visszatérésnél pedig a verem végéről tűnik el egy koordináta.

A labirintus generálására többféle iteratív megoldás létezik. A növekvő fa (growing tree) nevű változat működése a következő. Mindig, amikor egy új termet vájunk ki, akkor annak a teremnek a koordinátáit elmentjük egy tárolóba. Ezután választunk egy elemet ebből a tárolóból, és abból kiindulva valamelyik szomszéd felé járatot próbálunk meg kialakítani – ha sikerül, akkor az új terem koordinátáit is betesszük a tároló végére. Ha a választott teremből már nem lehet semerre sem haladni (mind a négy irányba már van terem), akkor pedig kitöröljük. Mindezt addig kell ismételgetni, amíg egyszercsak üres nem lesz a tároló.

Az algoritmus érdekessége, hogy a tárolóból – amelyet a lentebb letölthető programban egy listával valósítottunk meg – sokféleképpen választhatunk elemet. Ha mindig abból a teremből próbálunk meg továbbmenni, amelyik a tároló végén van (vagyis amelyet legutoljára tettünk oda), akkor visszakaptuk az első, rekurzív algoritmust. (Ha mindig csak a végére teszünk be elemet, és mindig csak az elejéről veszünk el, akkor pont vermet kapunk!) Más lehetőségek is elképzelhetőek:

- Mindig az elejéről vesszük az elemet.
- Véletlenszerűen választunk belőle.
- Véletlenszerűen választunk valamelyik feléből (pl. elejéről, végéről).
- Mindig az utolsót választjuk, de néha véletlenszerűen egyet a közepéről.

Ezek mind kissé eltérő kinézetű labirintust fognak gyártani. A lenti videóban mindig teljesen véletlenszerűen választódik ki az elem. Amikor egy terem koordinátái bekerülnek a listába, akkor zölddel jelöli meg azt a program; amikor abból a teremből már észrevette, hogy nem lehet továbbmenni, akkor befeketíti azt. Így zölddel azok a termek vannak megjelölve, ahova még majd később visszanéz.

A kód letölthető innen: growingtree_pygame.py, illetve growingtree_turtle.py, amelyik grafikus rendszer szimpatikusabb. Ez a generálás közben feljegyzett helyeket egy listában tárolja. Ez az a tároló, amit egy rekurzív algoritmusnál a verem váltana ki.

A program egyszerűsítéséhez egy apró trükköt vetettünk be. A labirintust tároló lista szélére a járat elemből egy keretet rajzoltunk, minden oldalra. Így nem kell soha ellenőrizni a túlindexelést a mozgásnál, mert a rajzoló algoritmus azt hiszi, hogy ott járat van, és a kép széleire már nem lép. Szerencsére ez nem nagy pazarlás: ha növeljük a labirintus méretét, a területe négyzetesen nő, de a keret csak lineárisan, vagyis a „kidobott” memória mennyisége egyre kisebb a labirintus méretéhez képest.

## 4. Iteratív generálás II. – Eller algoritmusa

Lássunk egy igazi iteratív megoldást, mert az előző mintha a rekurzív megoldást utánozná. A következő labirintusrajzoló neve Eller algoritmusa. Az érdekessége, hogy nem mászkál fel-le generálás közben a képen, hanem soronként gyártja le a labirintust; miután egy sort megrajzolt, többé azzal már nem foglalkozik, és így eltárolni se kell. Az általa foglalt memória ezért a labirintus szélességével arányos, és teljesen független a labirintus magasságától!

### Az algoritmus működése

A működés lényege a következő. A futáshoz halmazokat kell tárolni: minden terem benne van egy halmazban, mégpedig úgy, hogy ha két tetszőleges terem között valamilyen úton összeköttetés van, akkor a két terem ugyanabban a halmazban kell legyen. Ez az információ segít a generáló algoritmusnak eldönteni, hogy összeköthet-e két egymás melletti termet, mert ha eleve egy halmazban vannak, akkor kör keletkezne. A halmazokat mutatnak egy generálás alatt álló labirintusban a jobb oldali ábra színei.

A kimenet egy sorának létrehozása két lépésből áll:

- Vízszintes összeköttetések létrehozása az egymás melletti termek között véletlenszerűen.
- Függőleges összeköttetések létrehozása az egymás alattiak között, úgyszint véletlenszerűen.

Hogy a labirintusban ne legyen kör, illetve izolált rész (ahova sehogyan sem lehet eljutni), az összeköttetéseknél a következő dolgokra kell figyelni:

- Vízszintes összeköttetéseknél: ha két egymás melletti terem már egy halmazban van, akkor nem szabad összekötni őket, mert különben kör keletkezne. Ha behúzunk egy vízszintes vonalat, akkor viszont az általa összekötött két terem halmazait egyesíteni kell (unió).
- Függőlegeseknél: ha egy cella egyedül van egy halmazban, akkor kötelező bekötni a felette lévőhöz (különben egy izolált pont keletkezne). Ha pedig egy cellát nem kötünk be, akkor az saját, új halmazba kerül.

A legelső és a legutolsó sorra speciális szabályok vonatkoznak. A labirintus generálásának elején minden cella a saját halmazába kerül (minden halmaz egy elemű lesz). Az utolsó sort pedig nem szabad véletlenszerűen létrehoznunk, hanem azokra a helyekre kötelezően kell összeköttetést raknunk, ahol két szomszédos terem külön halmazban van.

### A megvalósítás

Észrevehetjük, hogy egy sorban minden terem pontosan egy halmazba tartozik bele. Ha a képzeletbeli halmazainkat megszámozzuk, akkor nincs már más dolgunk, mint hogy minden teremhez azt az egész számot rendelni, amilyen számú halmazba az tartozik. Vagyis semmi másra nem lesz szükségünk, csak egy egész számokat tartalmazó listára!

A halmazok közötti műveletek nagyon egyszerűek maradnak. Ha két szomszédos teremnél kíváncsiak vagyunk rá, hogy egy halmazba tartoznak-e, csak össze kell hasonlítani a hozzájuk rendelt számokat. Amikor két halmazt egyesítünk (uniójukat képezzük), akkor a két halmaz helyett csak egy lesz – vagyis a teendőnk annyi, hogy az utóbbi halmazra hivatkozó egész számokat kicseréljük az előbbire hivatkozó egész számmal. Például ha a 10-es és a 12-es halmazt egyesítjük, akkor az összes 12-est kicseréljük 10-re, és kész. (Ezt a listában mindenhol meg kell tennünk! Lehet, hogy két egymástól távoli terem egy halmazban van.) Amikor pedig új halmazt hozunk létre, hozzárendelünk egy olyan számot, amelyik nem jele egyik addigi halmaznak sem.

Az program forráskódja itt letölthető: eller_print.py. Ezen jobban követhető az algoritmus működése. A program sorról sorra, betűről betűre írja ki a rajz karaktereit, balról jobbra és fentről lefelé. Mindegyik karakterkiírás kommentelve van, hogy hogyan kerül oda.